УДК 167+168

 

Кузьменко В.В. (Д-р филос. наук, доцент кафедры прикладной математики и вычислительной техники Национальной металлургической академии Украины , Днепропетровск)

 

Выявление онтологического статуса комплексных чисел и кватернионов

 

В настоящей статье сделана попытка выявления онтологического статуса комплексных чисел и кватернионов. Рассмотрены определения математического знания Платоном и И. Кантом. Позиция автора состоит в том, что онтологический статус комплексных чисел и кватернионов двойственен. Определяемые в платоновском контексте, комплексные числа и кватернионы обретают статус предпосылочных начал различного рода моделей – эйдосов, в кантовском – конструируемых структур.

Ключевые слова: онтологический статус, комплексные числа, кватернионы, эйдосы, конструируемые структуры

 

Кузьменко В.В. ВИЯВЛЕННЯ ОНТОЛОГІЧНОГО СТАТУСУ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ І КВАТЕРНІОНІВ. У даній статті зроблена спроба виявлення онтологічного статусу комплексних чисел і кватерніонів. Розглянуті визначення математичного знання Платоном і І. Кантом. Позиція автора полягає в тому, що онтологічний статус комплексних чисел і кватерніонів подвійний. Визначувані в платонівському контексті, комплексні числа і кватерніони знаходять статус ейдосів, в кантівському – конструйованих структур.

Ключові слова: онтологічний статус, комплексні числа, кватерніони, ейдоси, конструйовані структури.

 

 

Kuzmenko V.V. Explanation of  the ontological status of the complex numbers and quaternions. In present clause the attempt of revealing of the status of life of complex numbers is made. The definitions of mathematics in works Platon’s and Kant’s are considered. The position of the author is, that the status of life of complex numbers has double importance. Determined in Platon’s a context, the complex numbers find the status began of a various sort of models ideas of things, in Kant’s – designed structures.

The key words: of revealing of the status, complex numbers. ideas of things, designed structures.

 

Начиная с Нового времени во взаимном влиянии математики и физики, в особенности это относится к «Математическим началам натуральной философии» И. Ньютона, обычно сначала раскрывалась сущность физического явления, лишь затем конструировалось его математическое описание. Комплексные числа и кватернионы составляют исключение. Комплексные числа сначала были введены математиками для удобства решения квадратных уравнений; по прошествии времени в физике и инженерных построениях были раскрыты явления, описания которых удобно конструируются при помощи комплексных чисел и кватернионов.

Автор отмечает, что Р. Карнап, анализируя взаимное влияние философии математики и естествознания, в работе «Философские основания физики» утверждал, что «…законы логики и математики являются универсальными, но ничего не говорят нам о мире. Они просто устанавливают отношение не потому, что мир так устроен, а потому, что эти понятия так определены» [3. с.54]. Следовательно, на математических законах нельзя основывать научные объяснения. Математика – это всего лишь язык научных описаний, но не само описание.

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных при объяснении природы её объектов. Он рассматривался в философии, начиная с античности, в трудах Платона и Аристотеля. В новоевропейской философии взаимное влияние философии, математики и естествознания анализировалось философами-рационалистами, затем И. Кантом в «Критике чистого разума». В XIX и XX столетиях названная проблема также оставалась актуальной. Её исследованием занимались не только философы, например Л. Витгенштейн, Э. Гуссерль, Г. Вейль, но и выдающиеся математики. Назовём лишь имена А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, В. А. Успенского, Н. А. Шанина, П. С. Новикова и др.

В Новое время в философской и научной мысли можно отыскать различные мнения в отношении существования математических объектов, приведём лишь некоторые из них. Утверждения о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике Дж. Беркли. В работе «Аналитик или рассуждение, адресованное неверующему математику» он отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1. с.395]. Напротив, определяя природу математического знания, Л. Эйлер утверждал о том, что «…математика является наукой, которая не только показывает в каждом случае соотношения, но и определяет причины, от которых они зависят по природе самих вещей» [7. с.9.]. Л. Кронекер, а в последствии и представитель парижской школы теории функций Э. Борель признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Они утверждали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря которому математические объекты становятся познаваемыми.

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к трудностям как гносеологического, так и методологического характера. Математик оказывается между двумя реальностями – чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Но как математик он имеет дело лишь со «второй реальностью».

В настоящей статье автор ставит целью доказать, что онтологический статус комплексных чисел и кватернионов двойственен. Определяемые в платоновском контексте, комплексные числа и кватернионы обретают статус предпосылочного начал различного рода моделей – эйдосов, в кантовском – конструируемых структур.

Объекты, с которыми имеем дело в математике, делятся на два класса – ассертотические и аподиктические. К ассертотическим относятся объекты, которые имеют относительный характер и могут быть исправлены новым опытом. Особенностью аподиктических объектов является то, что они не поддаются никакой корректировке и имеют внеэмпирический характер. Комплексные числа и кватернионы относятся к аподиктическим объектам математики. Сложившаяся теория комплексных чисел логически стройная, алгоритмически доказательная математическая теория.

Каждая математическая теория – это относится к комплексным числам и кватернионам – неизбежно восходит к конструируемым структурам, которые строго заданы. При развитии математической теории её объекты обретают две особенности, первая из которых – определённость объектов конечным числом свойств. Вторая особенность объектов математических теорий – их соподчинённость. В процессе развития математической теории её объекты выстраиваются в строгой иерархии, не зависящей ни от произвола отдельного математика, ни математического сообщества в целом. Мышление математика по необходимости требует логической стройности.

Комплексные числа возникли из внутренней потребности математики – в процессе решения квадратных уравнений. Впервые вывод решений квадратных уравнений в общем виде представил в XVI столетии Ф. Виета, который признавал только положительные корни. Вплоть до XVI столетия математики не принимали во внимание комплексных корней. Лишь впоследствии итальянские математики Н. Тарталья, Дж. Кардано, Р. Бомбелли стали учитывать, помимо положительных ещё и отрицательные решения квадратных уравнений. Разрешимость уравнений 3-й и 4-й степеней также была установлена Н. Тарталья и Дж. Кардано. Но только в XVII столетии, благодаря работам А. Жирара, Р. Декарта, И. Ньютона и других математиков, решение квадратных уравнений приобрело современный вид.

Дж. Кардано – один из первых математиков, формально оперировавших комплексными числами, хотя их смысл оставался для него неясным. Смысл комплексных чисел разъяснил Р. Бомбелли в труде «Алгебра» в 1572 году. Он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме. Большое внимание комплексным числам уделял А. Жирар, автор труда «Новое изобретение в алгебре» (1629 г.). Именно А. Жирар впервые сформулировал основную теорему алгебры, впоследствии доказанную К. Ф. Гауссом. Вместе с тем, вплоть до XVIII столетия, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже Р. Декарт, рассматривавший сущность действительных чисел сквозь призму категории «протяжённость», утверждал, что для комплексных чисел не может быть реального истолкования, они навечно останутся «мнимыми». Аналогичных взглядов придерживались И. Ньютон и Г. В. Лейбниц.

В XVIII столетии задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.

В средине XVIII столетия Ж. Л. Даламбер и Л. Эйлер представили произвольные мнимые величины в виде a + bi, что позволило изображать их точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована К. Ф. Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения. Позднее, в начале ХIХ столетия в работах К. Весселя и Ж. Аргана содержится полное геометрическое построение комплексных чисел. В частности, К. Весселем комплексные числа рассматривались как векторы. Благодаря О. Коши в математике активно стали использоваться такие понятия, как модуль комплексного числа, сопряженные комплексные числа.

В 20-х годах XIX столетия норвежский математик Н. Абель доказал, что иррациональные корни алгебраических уравнений степени выше 4-й не могут быть выражены в виде формул, содержащих пять операций – четыре арифметических и извлечения корней. В 1831 году в труде К. Ф. Гаусса по теории чисел, была разработана геометрическая интерпретация комплексных чисел, позволившая выявить геометрический смысл операций над ними.

При выявлении онтологического статуса комплексных чисел невозможно не рассмотреть их основные математические определения.

Комплексные числа – это расширение множества вещественных чисел. Оно может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

Согласно основной теореме алгебры К. Ф. Гаусса, комплексные числа образуют топологическую структуру – алгебраически замкнутое поле. Всякое алгебраическое уравнение степени n с действительными или комплексными коэффициентами                             a0xn+a1x n-1 + ... +a n-1 x+an = 0                           разрешимо в поле комплексных чисел и имеет n корней (с учетом их кратностей).

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль r = |z| и аргумент  обозначить, , то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме

Для целей комплексного анализа также может быть полезна форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической

Формула Муавра – , где  – модуль,  – аргумент комплексного числа, в современной символике представлена Л. Эйлером в 1722 году. Она позволяет возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме.

Множество комплексных чисел – неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства.

Необходимо также рассматривать комплексное число и с точки зрения структурного топологического конструирования. Известно тройственное определение комплексных чисел: во-первых, комплексное число это вектор; во-вторых – комплексное число это точка в координатной плоскости; в-третьих – комплексное число это оператор поворота. Представленные определения приводят к непосредственным характеристикам пространства-времени, однозначно соответствующим характеристикам комплексных чисел: – протяженность – точка – время (длительность).

Основные определения комплексных чисел обусловили удобство формирования математических моделей, применяемых в математической физике, в естественных и технических науках – электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и других.

Развитие комплексного анализа в XIX столетии стимулировало у математиков интерес к задаче поиска нового вида чисел, аналогичного по свойствам комплексным, содержащим не одну, а две мнимые единицы. Работа в этом направлении оказалась безуспешной.

В 1844 году ирландским математиком У. Гамильтоном был открыт новый вид чисел, который содержал три мнимые единицы. У. Гамильтон задался целью построить из точек пространства числовую структуру, подобную множеству действительных чисел. Оказалось, что такую структуру, можно построить, если отказаться от коммутативности умножения. Таким образом, обобщение понятия комплексного числа привело к первому примеру гиперкомплексной системы – кватернионам. Кватернион представляет собой упорядоченную четверку действительных чисел s, a, b, c, которые связаны с четырьмя базисными элементами 1, i, j, k, обладающими следующими свойствами:

 

i2 = j2 = k2 = -1,

ij = k, jk = i, ki = j,

ji = - k, kj = - i, ik = - j.

Базисные элементы i, j, k могут быть интерпретированы как базисные векторы декартовой системы координат в трехмерном пространстве. Таким образом, всякий кватернион Q может быть записан в виде:

Q = s " 1 + a " i + b " j + c " k.

Обычно кватернион Q разделяют на скалярную часть s и векторную                            v = a " i + b " j + c " k, так что Q = s + v.

Четверка чисел (s, a, b, c) характеризует компоненты кватернионов.

Если s = 0, то кватернион переходит в вектор v в трехмерном пространстве. Важная особенность кватернионов состоит в том, что подмножеством кватернионов являются вещественные числа (s, 0, 0, 0); комплексные числа (s, а, 0, 0); векторы в трехмерном пространстве (0, а, b, c)

Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, различие которых (физики назвали это явление спином) связано со свойствами группы преобразований. Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов удобно тем, что кватернион определяет непосредственно его геометрические характеристики: ось вращения и угол поворота. «Вращения» электронов отличаются от вращении твёрдых тел различием спинов, играющих важную роль при описании электронных оболочек атомов.

Выявляя онтологический статус комплексных чисел и кватернионов, невозможно не коснуться теории функции комплексного переменного, которая охватывает широкую область математики. Этим именем называют разветвлённую совокупность теоретических и прикладных математических дисциплин. Теоретическая трактовка функции комплексного переменного определена в трудах К. Ф. Гаусса, О. Л. Коши, Б. Римана, Н. Х. Абеля, К. Вейерштрасса и других математиков. Объём статьи не позволяет автору раскрыть историю появления функции комплексного переменного, она представлена в труде К. А. Рыбникова «История математики» [6. с367-393.]. На рубеже XX столетия в ряде монографий создаётся единая концепция функции комплексного переменного. В этой связи отметим работу Ф. Клейна «О римановой теории алгебраических функций и их интегралах», труды Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, открывшие необозримую область её приложений в аэро- и гидромеханике. Аналитическая теория дифференциальных уравнений явилась фундаментом специальных функций: модулированные функции Ш. Эрмита, атмосферные Ф. Клейна и А. Пуанкаре. В теорию аналитических функций в качестве элементов единой основы был внесен ряд понятий из теории множеств Г. Кантора.

Применимость комплексных чисел, кватернионов и функции комплексного переменного в формировании множества различных моделей, позволяет, по мысли автора, трактовать их онтологический статус в платоновском контексте, как статус эйдосов. Поэтому, интерпретацию онтологического статуса комплексных чисел и кватернионов невозможно проводить без рассмотрения математизации знания Платоном, выявляя его трактовки теоретического знания как умозрения, где наибольший интерес проявляется к абстрактным построениям в сфере идеальных сущностей, теоретическое знание представляется как статичная, упорядоченная абстрактная конструкция.

По Платону, предметом совершенной науки выступает вечно сущее, единое или одна идея, которая включает в себя своё собственное идейное многое – виды. Её познание даёт возможность различить как постигаемую разумом особенность всеобщего, так и абстрагируемую в ходе аналитико-синтетической деятельности рассудка особенность чувственно-воспринимаемого единичного или особенность видов возникающих и исчезающих вещей. «Различить всё по родам, не принимать один и тот же вид за иной и иной за тот же самый – неужели мы не скажем, что это [предмет] диалектического знания?» [5. с.324]. Возможность различать всё по видам и родам превращает диалектику в субъективное человеческое умение мыслить любое одно и многое, сводить многое к единому. Диалектику самопознания абсолютно сущего Платон именует техникой божественного творчества.

Согласно Платону, математические объекты, как абстрактные построения разума, оказывается моделями, порождающими остальные виды знания при приложении математики к познанию первоначала всего сущего. Математика, в то же время – модель, порождённая остальными видами знания. Приложение математики к измерению поверхностей формирует планиметрию, к измерению глубин – стереометрию, к измерению скоростей – астрономию. «Эти узоры на небе, украшающие область видимого, надо признать самым прекрасным и совершенным из подобного рода вещей, но всё же они сильно уступают вещам истинным с их перемещениями друг относительно друга, происходящими с подлинными быстротой и медлительностью, согласно истинному числу и во всех истинных формах, причём перемещается всё содержимое. Это постигается разумом и рассудком, но не зрением» [4. с.313]. Составляя иерархию видов знания о бытии, Платон превратил онтологию абстрактных сущностей в истинное бытие. Диалектика является принципом математизации или, модернизируя Платона логической структуризации при осмыслении бытия.

Математика, будучи наукой об абстрактных построениях, рассматривалась Платоном как пропедевтика философии. «Один раздел умопостигаемого душа вынуждена искать на основании предпосылок, пользуясь образами из получившихся у нас тогда отрезков и устремляясь поэтому не к началу, а к завершению. Между тем другой раздел душа отыскивает, восходя от посылок к началу, такой посылки не имеющему. Без образов, какие были в первом случае, но при помощи самих идей пролагает она себе путь» [4. с.292]. Для Платона познание не может ограничиться фиксацией математических предположений, оно должно перейти к раскрытию онтологического начала всего сущего. Это означает, что необходимо перейти от формального или предпосылочного начала к знанию, совпадающему с порождающим бытием – идеей Блага. Лишь перейдя к беспредпосылочному началу, можно определить принципы частных наук. Осмысление беспредпосылочного начала – задача диалектики. Беспредпосылочное начало, совпадающее с наивысшим благом, ни от чего не зависит, само себя определяет и находится за пределами бытия. Предельное начало есть тождество идеи и бытия, мышления и становления, формального и содержательного. Оно не возникает и не уничтожается, но служит истоком возникновения и движения всего сущего.

По мысли автора, пользуясь терминологией Платона, комплексные числа, кватернионы и функции комплексного переменного являются формальным – предпосылочным началом к знанию, совпадающему с порождающим бытием принципов частных наук, несмотря на то, что в этой области математики царствует чистая абстракция. Комплексные числа, кватернионы и функции комплексного переменного нашли своё отражение в ряде физических образов. В различных физических теориях эти беспредпосылочные начала каждый раз определяют новую физическую сущность. Естествоиспытатель, соединяя разрозненные элементы решения, путём интуиции раскрывает то, что впоследствии получает стройную систему доказательств. Благодаря образам представители естественных и технических наук в состоянии выстроить то, что было бы лишь постепенно открыто путём чистой индукции. Но физика даёт математике не только решения, но и метод рассуждения. Достаточно вспомнить, как Ф. Клейн воспользовался свойствами электрических токов при исследовании вопроса относящегося к поверхностям Б. Римана. Отметим лишь, что рассуждения этого рода не строги, в том смысле, в котором понятия строгость и непротиворечивость употребляются в математике. Автор утверждает, что взаимное проникновение математики и физики непременно требует жертв со стороны каждой из этих наук. В отличие от математика, физик может по произволу предполагать изучаемую функцию прерывной или непрерывной, имеющей производную или не имеющей её, у него нет оснований встать в противоречие с каким бы то ни было опытом, ни современным, ни будущим. Автор не станет приводить соответствующие примеры, утомляя внимание читателя, тем более, что это не является целью данной статьи. Но именно в раскрывающемся контексте определим онтологический статус комплексных чисел, кватернионов и функций комплексного переменного как статус предпосылосных начал целого ряда знаний о природе и технике, а соответственно, как статус эйдосов.

Определяя онтологический статус комплексных чисел и кватернионов в кантовском контексте, как конструируемые структуры, автор подчёркивает, что И. Кант в «Трансцендентальном учении о методе», в разделе «Дисциплина чистого разума в его догматическом применении» переосмыслил представления о процессе познания. Немецкий философ, положив в его основу принцип рассудочной и разумной деятельности познающего субъекта, которая определена им как конструирование предмета знания. Учением о дисциплине чистого разума он провел раздел между научным знанием со складывающейся формально-логической системой его описания – математикой и спекулятивной метафизикой. Дисциплинирующее ядро науки И. Кант усматривал в ряде регулятивных принципов применения разума, которые должны стать внутренними регулятивами науки. Философское открытие И. Канта состоит в том, что в основе научного познания лежит не созерцание умопостигаемой сущности, а деятельность по её конструированию. Эта деятельность порождает идеализированные – математические объекты. «Математика конструирует не только величины (quanta), как это делается в геометрии, но и величину как таковую (quantitas), как это делается в алгебре, совершенно отвлекающейся от свойств предмета, который должен мыслится согласно понятию величины. Она избирает себе при этом определённые обозначения для всех конструирований величин вообще (чисел), каковы сложение, вычитание, извлечение корня и т. д.; затем, обозначив общее понятие величин в их различных отношениях, она изображает в созерцании соответственно определённым общим правилам все операции, производящие и изменяющие величину; когда одна величина должна быть разделена другой, она соединяет их знаки по обозначающей форме делания и т. п. и таким образом с помощью символической конструкции, также как геометрия с помощью остенсивной, или геометрической, конструкции (самих предметов), достигает того, чего дискурсивное познание посредством одних лишь понятий никогда не может достигнуть» [2. с.530-531]. Необходимо подчёркнуть тот важный аспект, что принцип конструирования предмета познания в науке и философии Нового времени все более заявляет свои права. Вместе с математизацией физики, конструирование – мысленный эксперимент завоевывает в науке ведущую роль. Примером тому служат труды естествоиспытателей и философов Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона, Г. В. Лейбница. Следует особо выделить методы конструирования, при абстрагировании и идеализации, разработанные И. Ньютоном в «Математических началах натуральной философии».

С точки зрения структурного топологического конструирования, комплексные числа имеют тройственное определение: во-первых, комплексное число это вектор; во-вторых – комплексное число это точка в координатной плоскости; в-третьих – комплексное число это оператор поворота. Согласно основной теореме алгебры К. Ф. Гаусса, комплексные числа образуют конструируемую топологическую структуру – алгебраически замкнутое поле. Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, различие которых связано со свойствами группы преобразований. Соответственно, с позиции кантовского подхода к математике, онтологический статус комплексных чисел и кватернионов необходимо рассматривать как конструируемые структуры.

Автор считает себя вправе сделать вывод о том, что онтологический статус комплексных чисел и кватернионов следует рассматривать в двух контекстах. Это – предпосылосные начала ряда знаний о природе и технике – платоновские эйдосы и кантовские конструируемые структуры.

 

Литература

1.                 Беркли Дж. Сочинения / Дж. Беркли. Аналитик или рассуждение, адресованное неверующему математику – М.: Мысль, 1978. – 556с.

2.                 Кант И. Критика чистого разума / И. Кант. Соч. В 8-ми т. Т.3. – М.: Чоро, 1994. – 741с.

3.                 Карнап Р. Философские основания физики. Введение в философию науки/ Р. Карнап. – М.: Прогресс, 1971. – 392с.

4.                 Платон. Государство / Платон. Соч. в 4-х т. Т.3. – М.: Мысль, 1994. – 654с.

5.                 Платон. Софист / Платон. Соч. в 4-х т. Т.2. – М.: Мысль, 1993. – 526с.

6.                 Рыбников К. А. История математики / К. А. Рыбников. – М.: изд. Московского университета, 1974. – 456с.

7.                 Эйлер Л. Исследования по баллистике / Л. Эйлер – М.: Физматгиз, 1961. – 590с.

 

© Кузьменко В.В., 2010