Л.Н.Цехмистро                                                                                                          

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ПРИНЦИП СТАЦИОНАРНОСТИ  ДЕЙСТВИЯ В МЕХАНИКЕ

 

Стаття розглядає сукупність екстремальних принципів у механіці, демонструючи, що саме екстремальні принципи надають класичній механіці властиву їй ідеальність і  красу. Це враження ще в більшій мері підсилюється, коли виявляється, що всі ці чудові принципи втримуються в єдиному й найбільш фундаментальному принципі - принципі стаціонарності дії, або є похідними від нього. Зокрема, в статті аналізуються:  принцип Ферма (1660 г.) , принцип можливих переміщень (початок ХVІІІ століття),  принцип Д’Аламбера-Лагранжа (середина ХVІІІ століття), принцип Журдена (ХVІІІ століття), принцип Гаусса  і принцип Герца . Показується, що в цілому співвідношення екстремальних принципів механіки ніби розкриває ієрархію «розуму» в природі, коли почавши з найдавнішого - принципу Ферма - ми послідовно піднімаємося до універсального «принципу принципів» - принципу стаціонарності дії як їх причини і передумови.

Ключові слова: екстремальні принципи, стаціонарність дії, механіка.

 

Вместо эпиграфа: «Горы, поля, реки и т. д. созданы из атомов. Они обладают ограниченными размерами и неразумны. Следовательно, они должны управляться разумной причиной. Эта разумная причина должна иметь прямое знание обо всей материи и всех атомах, которые лежат в основе всего. Она должна быть вездесущей и всеведущей». (Из статьи Ирины Мартыненко  ЛОГИКА И МЫШЛЕНИЕ В НАУКЕ И РЕЛИГИИ. См. настоящий сборник).

                                                               Ниже мы приведем вполне научный взгляд на приро

                                                               ду этой «разумной причины».

 

            Вся совокупность экстремальных принципов в механике раскрывает присущую ей идеальность и  красоту; и каждый в отдельности, и все в месте взятые они являются очевидным свидетельством разумности природы.

Это впечатление еще в большей мере усиливается, когда оказывается, что все эти замечательные принципы содержатся в едином и наиболее фундаментальном принципе - принципе стационарности действия, или производны от него. Начнем с одного из старейших принципов – принципа Ферма.

1) Принцип Ферма (1660 г.) гласит: свет выбирает из всех возможных путей движения, соединяющих две данные точки (точку испускания света и точку поглощения  света), тот путь, на котором время движения его будет наименьшим.

Более точная современная формулировка принципа Ферма может быть такой: луч света, проходящий по траектории, обладает тем свойством, что любое малое изменение пути (скажем, на 1%), расположения точки падения луча на зеркало, или формы кривой, или какие-либо иные изменения, не приводят в первом порядке к изменению времени прохождения. Как говорят, время прохождения света по траектории стационарно при всех подобных вариациях траектории его движения. Изменение времени движения на истинной траектории происходит только во втором порядке.  Как отмечает Р. Фейнман, «свет выбирает один путь из многих близлежащих, требующих почти одинакового времени для прохождения» [1] .

Но уже этот, один из исторически первых вариационных принципов, содержит в себе большую гносеологическую трудность. Очень  ярко об этом пишет Р. Фейнман. Поведение света нетрудно понять, если придерживаться дифференциального причинного подхода: свет движется из одной близлежащей точки в другую близлежащую точку; в одной из таких точек с ним что-то происходит в результате причинного воздействия и свет, например, отклоняется. По этому поводу Р. Фейнман замечает: «Легко понять идею причинности, проявляющуюся в том, что свет идет из одной точки в другую, а затем в следующую». Но принцип Ферма есть интегральный, а не дифференциальный принцип и «вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т. д., этот принцип говорит следующее:  в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим или экстремальным временем. Но как удается свету выбрать свой путь? Вынюхивает он что ли соседние пути и сравнивает потом друг с другом? В некотором смысле так и происходит. Эту способность света, - продолжает Р. Фейнман, - нельзя понять в рамках  геометрической оптики, поскольку она связана с понятием длины волны; длина волны, грубо говоря, есть тот отрезок впереди лежащего пути, который свет может «почувствовать» и сравнить с соседними путями» [1].

К сказанному Р. Фейнманом добавим, что загадочность принципа Ферма (как и других подобных принципов) окончательно может быть снята только лишь с выяснением объективных оснований принципа стационарности действия, к которому сводятся все такие интегральные принципы. В принципе Ферма величиной, вариация которой должна быть равна нулю, при варьировании траекторий движения света, является время. Следовательно, минимальность времени является в данном случае признаком истинного движения системы.

В целом такого рода принципы подразделяются на два больших класса: дифференциальные и интегральные вариационные принципы[1].

К основным дифференциальным вариационным принципам относятся следующие.

2) Принцип возможных перемещений (начало ХVІІІ века). Он устанавливает в простейшем виде общее условие равновесия механической системы с идеальными связями. Согласно этому принципу положения равновесия отличаются от всех других положений системы тем, что только для положения равновесия сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е. минимальной является работа.

3) Принцип Д’Аламбера-Лагранжа (середина ХVІІІ века).  Согласно этому принципу: истинное движение системы с идеальными связями отличается от всех кинематически возможных тем, что только для истинного движения сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерций на любом возможном перемещении системы равна в каждый момент времени нулю.

4) Принцип ЖурденаVІІІ век) : из всех кинематически возможных движений механической системы с идеальными связями действительным является то, для  которого в каждый момент времени выполняется условие:

n

∑   ( Fi – mi wi) δvi    = 0 ,

i=1

 

где:   mi   и    wi    - соответственно массы и ускорения точек системы; Fi – действующие активные силы;  δvi - вариации скоростей точки системы, определяемые при условии, что положения этих точек и их ускорения не варьируются.

5) Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) (1829 г.) : при идеальных и неосвобождающих связях из всех кинематически возможных (допускаемых связями) движений, которые система может иметь, начиная перемещение из данной конфигурации с данными начальными скоростями, истинным будет то движение, для которого величина принуждения Z

 

(принуждение  = 0 )  в каждый момент времени является минимальной. Например, для частицы, движущейся вдоль наклонной плоскости под действием силы тяжести из положения А при V0 =  0, свободным перемещением будет перемещение  АВ  по вертикали, а кинематически возможным при данной связи – любое из перемещений АС0, АС1, АС2, … вдоль наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» для частицы пропорционально квадрату величины  ВСі ,  которая, очевидно, будет наименьшей для истинного перемещения АС(по линии наименьшего ската), что и утверждает принцип Гаусса. Математически принцип Гаусса выражается равенством δZ = 0; при этом варьируются только ускорения точек системы и предполагается, что силы от ускорения не зависят.

6) Принцип Герца (1894 г.) (этот принцип может быть выражен также и в интегральной форме): при отсутствии активных сил из всех кинематически возможных, т.е. допускаемых наложенными связями траекторий, действительной будет траектория, имеющая наименьшую  кривизну, или «прямейшая», т.е. такая, кривизна которой равна нулю.

Как видим, дифференциальные вариационные принципы устанавливают,  чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных движений в каждый данный момент времени. Интегральные же вариационные устанавливают такое различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. Интегральные вариационные принципы представляют собой различные формулировки собственно одного  принципа – принципа наименьшего действия, называемого теперь принципом стационарности действия.

Замена принципа наименьшего действия, сформулированного  П. Мопертюи  в 1744 году, принципом стационарности действия в ХХ веке не есть простым терминологическим новшеством, а означает глубокое проникновение в содержание этого принципа. В то время как на протяжении нескольких предшествующих  столетий принцип наименьшего действия трактовался как свидетельство истинности соответствующей траектории движения системы, в ХХ столетии было осознано, что принципиальное значение имеет не минимум действия на истинной траектории движения, которая может оказаться такой, что действие на ней будет максимальным. Важным является то, что на истинных траекториях движения вариация действия равна нулю, т.е. остается неизменным действие при варьировании некоторых кинематических характеристик системы той же траектории, например. На истинных траекториях движения системы вариация действия оказывается при этом равной нулю, т.е. величина действия остается неизменной. Отсюда и новое название принципа – принцип стационарности, т.е. неизменности действия.

В ХХ столетии была осознана также выделенность величины действия среди всех других механических величин. Об этом свидетельствует, например, книга Л.Б. Окуня «Физика элементарных  частиц» [ 2 ].

«Среди всех физических величин, - пишет Л.Б. Окунь – имеется одна, занимающая центральное положение в физике. Эта величина – действие…» По его мнению, «величие действия» связано с тем, что из этой величины выводятся все законы сохранения в физике и в то же время «в действии заключена вся динамика взаимодействия полей и частиц». Тем самым в содержании понятия действия схвачена как бы вся физическая реальность. Следует признать, что в интегралах действия какой-либо физической системы представлена вся ее история.

Напомним теперь в связи с темой статьи, что одновременно принцип стационарности является как бы вершиной развития разнообразных принципов механики, начиная с принципа Ферма, основные из которых были представлены здесь.

С целью прояснения отношения этих принципов к принципу стационарности действия выпишем теперь величины, фундаментальные для этих принципов и в отношении которых были сформулированы в этих принципах определенные требованиях в духе минимакса:

1. Принцип Ферма: время, минимальность времени  - сек;

2. Принцип возможных перемещений: работа, требованиe равенства нулю работы –  = 0;

3. Принцип Даламбера-Лагранжа: работа, сумма элементарных работ равна нулю –  = 0;

4. Принцип Журдена:

 

 (т.е. работа) = 0

 

 

5. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения) также выражается величиной размерности  , которая должна быть равной нулю.

6. Принцип Герца (принцип кратчайшего пути или наименьшей кривизны) выражается величиной  1/R(радиус кривизны)  и имеет  размерность 1/см. Эта величина должна быть также положена равной нулю.

Уже с первого взгляда ясно, что все выше описанные принципы по своей природе содержатся в принципе стационарности действия и вытекают из него. Так 1-й и 6-й принципы  (принцип Ферма и принцип Герца) являются интегральными уже хотя бы потому, что для осмысленного их применения  нужно взять какой-то отрезок времени (в первом случае) или пространства, т.е. траектории (во втором случае). Выполнения  на этих отрезках  требования стационарности действия автоматически влечет за собой минимальность времени (время должно быть «кратчайшим» и «прямейшим») в случае принципа Ферма. В случае принципа Герца является необходимым равенство нулю кривизны отрезка траектории, поскольку наложение требования стационарности действия на эту траекторию означает, что она должна представлять собой кратчайший отрезок евклидовой прямой, радиус кривизны которой равен бесконечности. Отсюда и следует, что кривизна этой траектории как 1/R= ∞  по необходимости равна нулю.

Что же касается остальных принципов («возможных перемещений»; «Даламбера-Лагранжа», «Журдена» и «принципа Гаусса»), то мы видим, что в каждом из этих принципов образующая принцип величина имеет одну и ту же размерность: , которую для ясности можно записать в виде :  (г · см /сек · см) · 1/сек. Величина в скобках - это величина действия.  При этом в каждом из этих принципов эта величина действия должна быть разделена на сек (т.е. время). Последнее обстоятельство указывает на то, что перед нами дифференциальные принципы, т.е. принципы, которые каждый раз показывают характер поведения механической системы от одного момента времени к следующему, как бы поточечно во времени. В этом суть дифференциального подхода.

С другой стороны, в каждом из этих четырех принципов «принципообразующая» величина (т.е. действие системы, разделенное на время) должна быть положена равной нулю.  Опять-таки, очевидно, что каждый из этих принципов является следствием более общего и универсального принципа стационарности действия, взятого применительно к данному случаю в его минималистской форме как принципа наименьшего действия.

Таким образом, в то время как в историческом плане принцип стационарности действия как бы завершает собою развитие принципов механики, в сущностном отношении он оказывается их источником.

В целом взаимоотношение экстремальных принципов механики и принципа стационарности действия раскрывает как бы иерархию «разума» в природе, когда начав с древнейшего – принципа Ферма – мы последовательно поднимаемся к универсальному «принципу принципов» - принципу стационарности действия как подлинному их источнику. Что же касается оснований самого принципа стационарности действия, то их следует искать в сущности квантовой механики. Во всяком случае существует тесная связь между принципом стационарности действия и еще одним важным экстремумом действия в природе – квантом действия (см. [2].

                                                                                                                                                      

Литература

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. – М., 1965, Т. 3 с. 18.

2. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. М., 1984, с. 11-13.

 

Рецензент: професор кафедри теорії культури і філософії науки Б.Я. Пугач


 

[1] Дифференциальные пиринципы устанавливают, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данный момент времени. Интегральные принципы устанавливают, чем истинное движение отличается от кинематически возможных за конечный промежутом времени  t1t0.